О системах счисления. Решаем задачи. Теоретические и практические

Начнём ab ovo. С тех цифр, которые вовсе и не цифры - буквы.

Вначале покажем детям картинку

Добро Есть

После небольшой дискуссии дети приходят к выводу о б очень большой сложности такой системы записи.

Теперь можно рассмотреть альтернативные варианты.

Первый из них - римские цифры. Они и сейчас живут на циферблатах и домах

домик

Предлагаем деткам записать в тетрадку

 

1Iлат. unus, una, unum
5Vлат.
10Xлат. decem
50Lлат.
100Cлат. centum
500Dлат.
1000Mлат. mille

 

Чтобы запомнить эти знаки в порядке убывания используем фразу

 

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидуумам

Соответственно M, D, C, L, X, V, I  - По правилам записи чисел число MDCLXVI будет соответствовать десятичному 1666

Но правила записи римских чисел сложны и запутаны. Попробуем прочитать эти записи: LDXXXIV и CDLXXXIV

Правильно, это 484. А какая запись правильна? Обе. Понятно, что для рассчётов такая система счисления непригодна.

Ещё один пример разной записи одного числа VMIV CMXCIX.

А теперь прочитайте эти записи CDXCIX, LDVLIV, XDIX, VDIV, ID
Хорошо для загадок, но не для ведения банковских документов.

Какие особенности этой системы счисления?

Значения символа - цифры - не зависит от его положения в числе. Это непозиционные системы счисления.

Теперь посмотрим на нашу привычную, десятичную.

Она и стала альтернативой

Вы ведь знаете, что люди научились считать на пальцах

http://www.youtube.com/watch?v=WoTsLf7I208

Почему она так названа? В её алфавите 10 цифр. 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Поэтому основание этой системы равно десяти.

Если мы возьмём 2 цифры, 0 и 1, то система будет двоичной. В её алфавите два числа, основание этой СисСч равно двум.

Как построена запись числа в десятичной системе?

 

247,32 = 2*102 + 4*101 + 7*10+ 3*10-1 + 2*10-2

Мы записали число в развернутой форме, в которой:
          2,4,7,3,2 - цифры числа
          10 - основание системы счисления
           показатели степени:  2,1,0,-1,-2  соответствуют номеру позиции цифры в числе.

Ещё несколько примеров

 

  1. 423,31210 = 4*102 + 2*101+ 3*100+ 3*10-1+1*10-2 +2*10-3

  2. 423,3125 = 4*52 + 2*51+ 3*50+ 3*5-1+1*5-2 +2*5-3

  3. 423,3128 = 4*82 + 2*81+ 3*80+ 3*8-1+1*8-2 +2*8-3

​А вот так записывать не стоит - это приведёт к ошибкам!

143,7810=3*100+4*101+1*102+7*10-1+8*10-2 

 

  56,318=6*80+5*81+3*8-1+1*8-2

 

Для повторения и разрядки можно использовать

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/9_139.swf

  

 

Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Примеры перевода чисел из пятеричной и восьмеричной систем счисления в десятичную систему счисления:

423,3125 = 4*52 + 2*51+ 3*50+ 3*5-1+1*5-2 +2*5-3 = 113,01651210
423,312= 4*82 + 2*81+ 3*80+ 3*8-1+1*8-2 +2*8-3 = 275,00407410

 

 

Но удобнее всего переводить в десятичную из двоичной системы.

Ведь мы очень хорошо помним степени числа 2

Степени двойки

10011012 = 1*26+ 0*25+ 0*24+1*23 +1*2+ 0*21+ 1*2= 7710

Посмотрим на анимированном примере

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/9_108.swf

 

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/9_110.swf

 

 

Достоинства двоичной системы счисления

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.

  1. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

  2. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

  3. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.

  4. Двоичная арифметика проще десятичной.

Недостатки двоичной системы счисления

Код числа, записанного в двоичной системе счисления представляет собой последовательность из 0 и 1. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов. 
Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

А как перевести числа из десятичной системы в любую другую?

Чаще всего используют метод последовательного деления десятичного числа на основание новой системы счисления

 

Для того, что бы перевести число из десятичной системы счисления в любую другую надо делить число на основание системы счисления до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания системы счисления, при этом необходимо фиксировать все остатки от деления. Затем надо записать частное от деления и все остатки, начиная с последнего в обратной последовательности. Т.о. получится:  частное - старший разряд, а самый первый остаток - младший разряд.

Например, переведем число 5810 в двоичную систему счисления:


Запишем полученный результат: 1110102

Посмотрим анимированный вариант

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/9_109.swf

Казалось бы всё просто, но деление не самая простая вычислительная операция. К тому же для перевода дробей их надо не делить, а умножать...

 

Воспользуемся таким приёмом ...